Questão 2 (6 pontos). Escreva a série de Taylor da função f(x)=dd x[(x-1) cdot e^x] centrada em a=1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de
f(x)=ddxl[(x-1)e^xr]
centrada em a=1.
Conteúdo: derivada de produto e expansão em série de potências (Taylor) de e^x.

Passo 2

Primeiro calculamos f(x) usando a regra do produto:
f(x) =ddxl[(x-1)e^xr] =underbraceddx(x-1)=1,e^x+(x-1),e^x =e^x+(x-1)e^x = x,e^x

Passo 3

Para expandir em série centrada em x=1, definimos
h = x-1,
de modo que
f(x)=x,e^x=(1+h),e^1+h =e,(1+h),e^h

Passo 4

Usamos a série de Maclaurin de e^h:
e^h = sumn=0^inftyh^nn!
Multiplicando por (1+h) obtemos
(1+h)e^h =sumn=0^inftyh^nn! +sumn=0^inftyh^n+1n! =underbraceh^00!1 +sumn=1^inftyl(1n!+1(n-1)!r)h^n

Passo 5

Note que para n>=1
1n!+1(n-1)! =1n!+nn! =n+1n!
Multiplicando tudo por e e reunindo também o termo n=0, a série de Taylor fica
f(x) =e+;esumn=1^inftyn+1n!(x-1)^n =sumn=0^inftye,(n+1)n!(x-1)^n

Resposta

boxedf(x)=sumn=0^inftye,(n+1)n!(x-1)^n

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