Questão 4 (6 pontos). Analise o limite da função f(x, y)=x^2 yx^3+y^4 quando (x, y) (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite da função
f(x,y)=x^2yx^3+y^4
quando (x,y)to(0,0). Isso faz parte do conteúdo de limites de funções de duas variáveis, onde a estratégia principal é verificar se o valor de f(x,y) ao se aproximar de (0,0) independe do caminho percorrido.

Passo 2

Vamos testar a família de retas
y = m,x,
em que m é uma constante real. Substituindo em f:
fl(x,mxr) =x^2,(m x)x^3+(m x)^4 =m,x^3x^3+m^4x^4 =m,x^3x^3(1+m^4x) =m1+m^4x
Quando xto0, tem-se
fl(x,mxr)to m1+0=m

Passo 3

Isso significa que ao longo da reta y=mx o valor de f(x,y) tende a m. Por exemplo:
– Se m=0 (reta y=0), então
lim(x,0)to(0,0)f(x,0)=0
– Se m=1 (reta y=x), então
lim(x,x)to(0,0)f(x,x)=1
Como 0neq1, o valor do limite depende do caminho.

Passo 4

Como obtivemos resultados diferentes ao longo de dois caminhos, concluímos que o limite de f(x,y) em (0,0) não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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