Derive as seguintes funções:
e^y=(cos x)^x

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita e^y = (cos x)^x e pede para encontrar y' = dydx. O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita e a regra para derivar uma função do tipo f(x)^g(x).

Passo 2

Para facilitar a diferenciação, vamos aplicar logaritmo natural em ambos os lados. Isso transforma a potência variável em produto:
lnl(e^yr) = lnl((cos x)^xr)

Passo 3

No lado esquerdo temos ln(e^y)=y. No direito usamos a propriedade ln(a^b)=bln a, ficando:
y = xln(cos x)

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem direto y'. No direito usamos a regra do produto em xln(cos x):
ddxl[xln(cos x)r] = 1cdotln(cos x) + xcdotddx[ln(cos x)]

Passo 5

Para ddx[ln(cos x)] usamos a cadeia:
ddx[ln(cos x)] = 1cos xcdot(-sin x) = -tan x

Passo 6

Substituindo volta no produto:
y' = ln(cos x) + xl(-tan xr) = ln(cos x) - xtan x

Resposta

y' = ln(cos x) - xtan x

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