Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=2 x^3 e^x

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função f(x)=2x^3e^x. O conteúdo é derivada de produtos e vamos precisar da regra do produto, além das derivadas de x^n e de e^x.

Passo 2

Definimos u(x)=2x^3 e v(x)=e^x. Pela regra do produto, temos (uv)'=u'v+uv'.

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=2x^3, aplicando a regra da potência (x^n)'=n x^n-1 e a constante, temos
u'(x)=2cdot3x^2=6x^2

Passo 4

Calculamos v'(x). Como v(x)=e^x, sabemos que
v'(x)=e^x

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=6x^2e^x+2x^3e^x

Passo 6

Para simplificar, fatoramos o termo comum 2x^2e^x:
f'(x)=2x^2e^x(3+x)

Resposta

f'(x)=2x^2e^x(x+3)

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