Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=10(sen t+de

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a EDO linear com coeficientes constantes e dois tipos de forçantes (uma senoidal e um impulso), aplique as condições iniciais, represente graficamente e discuta o comportamento. Vamos usar métodos de solução de equações lineares: encontrar a solução geral homogênea, uma particular para a parte senoidal, depois incorporar o efeito do impulso usando a resposta ao impulso (funcão de Green).

Passo 2

A parte homogênea satisfaz a equação associada y''+3y'+2y=0. O polinômio característico é r^2+3r+2=(r+1)(r+2), então as raízes são r=-1 e r=-2. Logo, a solução homogênea é
yh(t)=C1e^-t+C2e^-2t

Passo 3

Para a forçante contínua 10,sin t buscamos um particular do tipo yp(t)=Asin t+Bcos t. Calculando:
yp' = Acos t - Bsin t,
yp'' = -Asin t - Bcos t,
e substituindo em y''+3y'+2y=10sin t obtemos o sistema
(A-3B)=10,(3A+B)=0
Daí vem A=1 e B=-3, isto é
yp(t)=sin t -3cos t

Passo 4

A solução geral antes de incluir o impulso é
y^-(t)=C1e^-t+C2e^-2t+sin t-3cos t
Aplicando y(0)=1 e y'(0)=-1:
  • Em t=0: C1+C2-3=1 C1+C2=4.
  • Derivando e avaliando em 0 dá -C1-2C2+1=-1 C1+2C2=2.
    Resolvendo, C1=6 e C2=-2. Logo, para 0<= t<1:
y(t)=6e^-t-2e^-2t+sin t-3cos t

Passo 5

Para a forçante impulso 10,de usamos a resposta ao impulso do sistema sem condições iniciais, que é
h(t)=e^-t-e^-2t, t>=0
Isso vem de Lh(s)=1/(s^2+3s+2)=1/[(s+1)(s+2)]. Então o impacto no instante t=1 adiciona
yimp(t)=10,h(t-1),u(t-1)=10l(e^-(t-1)-e^-2(t-1)r)u(t-1)

Passo 6

Combinando tudo, a solução para todos os t>=0 é
y(t)=6e^-t-2e^-2t+sin t-3cos t+10l(e^-(t-1)-e^-2(t-1)r)u(t-1)

Passo 7

Discussão gráfica: antes de t=1, vemos a soma de uma senóide estacionária com dois transientes exponenciais que decaem rápido. Em t=1 ocorre um pico (salto na derivada, mas y contínua) devido ao impulso, gerando novos transientes iniciados em t=1 que também decaem. No longo prazo, ambos os transientes somam-se ao regime senoidal sin t-3cos t, ou seja, a solução tende a uma senóide de amplitude fixa e fase deslocada.
A curva de resposta teria um início com amortecimento exponecial superposto à senóide, depois do pico em t=1 um novo decaimento, finalmente aproximando-se apenas da oscilação senoidal estável.

Resposta

y(t)=6e{-t}-2e{-2t}+\sin t-3\cos t+10\bigl(e{-(t-1)}-e{-2(t-1)}\bigr)u(t-1)

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