Obtenha a solução das seguintes EDOs, representando-as graficamente e discutindo-as.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a EDO linear com coeficientes constantes e dois tipos de forçantes (uma senoidal e um impulso), aplique as condições iniciais, represente graficamente e discuta o comportamento. Vamos usar métodos de solução de equações lineares: encontrar a solução geral homogênea, uma particular para a parte senoidal, depois incorporar o efeito do impulso usando a resposta ao impulso (funcão de Green).
Passo 2
A parte homogênea satisfaz a equação associada
. O polinômio característico é
, então as raízes são
e
. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a forçante contínua
buscamos um particular do tipo
. Calculando:
e substituindo em
obtemos o sistema
Daí vem
e
, isto é
Passo 4
A solução geral antes de incluir o impulso é
Aplicando
e
:
- Em
: ⇒ . - Derivando e avaliando em 0 dá
⇒ .
Resolvendo,e . Logo, para :
Passo 5
Para a forçante impulso
usamos a resposta ao impulso do sistema sem condições iniciais, que é
Isso vem de
. Então o impacto no instante
adiciona
Passo 6
Combinando tudo, a solução para todos os
é
Passo 7
Discussão gráfica: antes de
, vemos a soma de uma senóide estacionária com dois transientes exponenciais que decaem rápido. Em
ocorre um pico (salto na derivada, mas y contínua) devido ao impulso, gerando novos transientes iniciados em
que também decaem. No longo prazo, ambos os transientes somam-se ao regime senoidal
, ou seja, a solução tende a uma senóide de amplitude fixa e fase deslocada.
A curva de resposta teria um início com amortecimento exponecial superposto à senóide, depois do pico em um novo decaimento, finalmente aproximando-se apenas da oscilação senoidal estável.
A curva de resposta teria um início com amortecimento exponecial superposto à senóide, depois do pico em
Resposta
y(t)=6e{-t}-2e{-2t}+\sin t-3\cos t+10\bigl(e{-(t-1)}-e{-2(t-1)}\bigr)u(t-1)