Demonstrar as seguintes afirmações:
Se A subset R^n é fechado e x notin A então A cupx é fechado.

Passo 1

Temos um conjunto fechado AsubsetR^n e um ponto xnotin A. Queremos mostrar que Acupx é fechado. Para isso vamos usar a definição de conjunto fechado via complementos abertos e o fato de que uniões finitas de conjuntos fechados permanecem fechadas.

Passo 2

Em R^n, o singleton x é fechado porque seu complemento é aberto. De fato, dado qualquer ponto yneq x, a distância d(y,x)>0, então podemos tomar a bola aberta de raio r=tfrac12d(y,x) centrada em y; essa bola não contém x e fica inteiramente em R^nsetminusx. Assim R^nsetminusx é aberto, logo x é fechado.

Passo 3

Como A é fechado por hipótese e x acabamos de ver que é fechado, a união finita de conjuntos fechados é fechada. Portanto, Acupx é fechado.
Também podemos ver diretamente pelos complementos:
R^nsetminus(Acupx)=(R^nsetminus A)cap(R^nsetminusx), que é interseção de dois abertos, logo aberto, o que implica que Acupx é fechado.

Resposta

A Acupx é fechado.

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