Demonstrar as seguintes afirmações:
Se
é fechado e
então
é fechado.
Se
Passo 1
Temos um conjunto fechado
e um ponto
. Queremos mostrar que
é fechado. Para isso vamos usar a definição de conjunto fechado via complementos abertos e o fato de que uniões finitas de conjuntos fechados permanecem fechadas.
Passo 2
Em
, o singleton
é fechado porque seu complemento é aberto. De fato, dado qualquer ponto
, a distância
, então podemos tomar a bola aberta de raio
centrada em
; essa bola não contém
e fica inteiramente em
. Assim
é aberto, logo
é fechado.
Passo 3
Como
é fechado por hipótese e
acabamos de ver que é fechado, a união finita de conjuntos fechados é fechada. Portanto,
é fechado.
Também podemos ver diretamente pelos complementos:
Também podemos ver diretamente pelos complementos:
Resposta
A
é fechado.