Derive as seguintes funções:
m(t)=\frac{\operatorname{Cos}\left(t^{2}\right) \operatorname{Sen}(t)}{e^{t}}
m(t)=\frac{\operatorname{Cos}\left(t^{2}\right) \operatorname{Sen}(t)}{e^{t}}
Passo 1
O enunciado nos dá a função
Vou reescrever usando a notação usual em LaTeX para trigonometria:
O que a questão pede: encontrar a derivada
(ou seja, derivar
em relação a
).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: é uma função formada por produtos e uma divisão por — portanto envolverá regras de derivação como produto, cadeia e/ou quociente.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: é uma função formada por produtos e uma divisão por
Passo 2
Escolha do método: é mais claro e prático transformar a divisão por
em multiplicação por
. Assim:
Dessa forma usa-se a regra do produto (duas vezes, ou vista como produto de uma função
e
) e a regra da cadeia para as composições trigonométricas e exponenciais. Essa abordagem costuma ser mais direta do que aplicar o quociente diretamente.
Passo 3
Lembrando as regras que vamos usar (com explicação simples):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
- Derivadas básicas que vamos usar:
Cada fórmula dá a derivada da função composta:
é a função interna e
sua derivada.
Passo 4
Identificar as partes e derivar as funções internas:
- Defino
- Primeiro calcule a derivada de
aplicando a cadeia: tomar e . Então
Passo 5
Derivar
usando a regra do produto (com as partes já conhecidas):
- Seja
e . Então
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Derivar
pela regra da cadeia: aqui
é a função interna,
é externa. Logo
Passo 7
Agora aplicar a regra do produto para
:
Substituindo
,
,
e
:
Fatorando
para simplificar:
Agrupando termos com
: