Derive as seguintes funções:
m(t)=\frac{\operatorname{Cos}\left(t^{2}\right) \operatorname{Sen}(t)}{e^{t}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
m(t)=\frac{\operatorname{Cos}\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\operatorname{Sen}(t)}{e^{t}}.
Vou reescrever usando a notação usual em LaTeX para trigonometria:
m(t)=\frac{\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)}{e^{t}}.
O que a questão pede: encontrar a derivada m'(t) (ou seja, derivar m(t) em relação a t).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: é uma função formada por produtos e uma divisão por e^{t} — portanto envolverá regras de derivação como produto, cadeia e/ou quociente.

Passo 2

Escolha do método: é mais claro e prático transformar a divisão por e^{t} em multiplicação por e^{-t}. Assim:
m(t)=\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)\,e^{-t}.
Dessa forma usa-se a regra do produto (duas vezes, ou vista como produto de uma função u(t)=\cos(t^2)\sin(t) e v(t)=e^{-t}) e a regra da cadeia para as composições trigonométricas e exponenciais. Essa abordagem costuma ser mais direta do que aplicar o quociente diretamente.

Passo 3

Lembrando as regras que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra do produto: se h(t)=f(t)g(t), então
h'(t)=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
Aqui f'(t) é a derivada de f e g'(t) é a derivada de g.
  • Regra da cadeia: se y=F(u(t)), então
\frac{dy}{dt}=F'\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t).
Ou seja, derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivadas básicas que vamos usar:
\frac{d}{dt}\cos\bigl(u(t)\bigr)=-\sin\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t), \qquad \frac{d}{dt}\sin\bigl(u(t)\bigr)=\cos\bigl(u(t)\bigr)\,u'(t),
\frac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}\,u'(t).
Cada fórmula dá a derivada da função composta: u(t) é a função interna e u'(t) sua derivada.

Passo 4

Identificar as partes e derivar as funções internas:
  • Defino
u(t)=\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t), \qquad v(t)=e^{-t}, \qquad m(t)=u(t)\,v(t).
  • Primeiro calcule a derivada de \cos\!\bigl(t^{2}\bigr) aplicando a cadeia: tomar F(x)=\cos(x) e u(t)=t^{2}. Então
\frac{d}{dt}\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)=-\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=-\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t=-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 5

Derivar u(t)=\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t) usando a regra do produto (com as partes já conhecidas):
  • Seja a(t)=\cos\!\bigl(t^{2}\bigr) e b(t)=\sin(t). Então
a'(t)=-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr), \qquad b'(t)=\cos(t).
Aplicando a regra do produto:
u'(t)=a'(t)b(t)+a(t)b'(t)=-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)+\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\cos(t).

Passo 6

Derivar v(t)=e^{-t} pela regra da cadeia: aqui w(t)=-t é a função interna, e^{w} é externa. Logo
v'(t)=e^{-t}\cdot\frac{d}{dt}(-t)=e^{-t}\cdot(-1)=-e^{-t}.

Passo 7

Agora aplicar a regra do produto para m(t)=u(t)v(t):
m'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u'(t), u(t), v(t) e v'(t):
m'(t)=\bigl(-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)+\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\cos(t)\bigr)\,e^{-t} +\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)\,(-e^{-t}).
Fatorando e^{-t} para simplificar:
m'(t)=e^{-t}\Bigl(-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)+\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\cos(t)-\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)\Bigr).
Agrupando termos com \cos\!\bigl(t^{2}\bigr):
m'(t)=e^{-t}\Bigl(-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)+\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\bigl(\cos(t)-\sin(t)\bigr)\Bigr).

Resposta

m'(t)=e^{-t}\Bigl(-2t\,\sin\!\bigl(t^{2}\bigr)\,\sin(t)+\cos\!\bigl(t^{2}\bigr)\bigl(\cos(t)-\sin(t)\bigr)\Bigr)

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