Derive as seguintes funções:
(a) y=[tg(sen(3 x+1))]^2

Passo 1

Queremos achar a derivada de y=[tan(sin(3x+1))]^2. Esse problema usa regra da cadeia em cascata, pois há três camadas de função: quadrado, tangente e seno.

Passo 2

Definimos uma função intermediária u=tan(sin(3x+1)). Como y=u^2, a regra da cadeia dá
dydx=2ucdotdudx

Passo 3

Agora derivamos u=tan(v), em que v=sin(3x+1). A derivada da tangente é secante ao quadrado vezes a derivada de v:
dudx=sec^2(v)cdotdvdx

Passo 4

Depois derivamos v=sin(3x+1). A derivada do seno é cosseno do mesmo argumento multiplicado pela derivada interna:
dvdx=cos(3x+1)cdot3

Passo 5

Substituindo u, v e suas derivadas em dydx=2ucdotdudx, obtemos:
dydx=2tan(sin(3x+1))cdotsec^2(sin(3x+1))cdot[3cos(3x+1)]

Passo 6

Para finalizar, basta multiplicar os fatores numéricos 2 e 3, resultando em 6. Assim temos todos os termos prontos para escrever a derivada final.
dydx=6tan(sin(3x+1))cdotsec^2(sin(3x+1))cdotcos(3x+1)

Resposta

6 \tan(\sin(3x+1)),\sec^2(\sin(3x+1)),\cos(3x+1)

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