(1,0 ponto) Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se y=ln x então d yd x=1x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada, que para a função y=ln x vale dy/dx=1/x. O conteúdo é o conceito de derivada como limite do quociente incremental e vamos precisar do limite fundamental limuto0ln(1+u)u=1.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f em um ponto x é dada por
dfdx = limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui temos f(x)=ln x.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
ddxl(ln xr)=limhto0ln(x+h)-ln xh = limhto0lnl(tfracx+hxr)h = limhto0lnl(1+tfrachxr)h

Passo 4

Para lidar com esse limite, fazemos a substituição u=tfrachx. Quando h→0 também u→0 e h= x u, então
ln(1+tfrachx)h = ln(1+u)x,u = 1xcdotln(1+u)u

Passo 5

Usando o limite conhecido limuto0ln(1+u)u=1, concluímos que
ddx(ln x) = 1xcdot1 = 1x

Resposta

1x

Exercícios relacionados