(1,0 ponto) Mostre, utilizando a definição de derivadas, que: se
então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de derivada, que para a função y=ln x vale dy/dx=1/x. O conteúdo é o conceito de derivada como limite do quociente incremental e vamos precisar do limite fundamental
.
Passo 2
A definição de derivada de uma função f em um ponto x é dada por
Aqui temos f(x)=ln x.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
Passo 4
Para lidar com esse limite, fazemos a substituição
. Quando h→0 também u→0 e h= x u, então
Passo 5
Usando o limite conhecido
, concluímos que