Mostre como encontrar a derivada
das funções abaixo
Passo 1
Temos a função
e queremos encontrar sua derivada
. O conteúdo principal aqui é a definição de derivada e a regra de potências.
Passo 2
Começamos pela definição de derivada:
Passo 3
Expandimos o binômio
usando a fórmula de Newton:
Substituindo na expressão do limite temos:
$$ \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}.
$$
Passo 4
Fatoramos
no numerador e simplificamos:
$$ \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2.
$$
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
:
$$ \lim_{h\to0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 3x\cdot0 + 0^2 = 3x^2.
$$
Portanto, .
Portanto,
Resposta
f’(x)=3x^2