Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo
f(x)=x^3

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3 e queremos encontrar sua derivada f'(x). O conteúdo principal aqui é a definição de derivada e a regra de potências.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h=limhto0(x+h)^3 - x^3h

Passo 3

Expandimos o binômio (x+h)^3 usando a fórmula de Newton:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
Substituindo na expressão do limite temos:
$$ \frac{(x+h)^3 - x^3}{h} = \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}.
$$

Passo 4

Fatoramos h no numerador e simplificamos:
$$ \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2.
$$

Passo 5

Agora tomamos o limite quando hto0:
$$ \lim_{h\to0}(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 3x\cdot0 + 0^2 = 3x^2.
$$
Portanto, limhto0(3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2 + 3xcdot0 + 0^2 = 3x^2 .

Resposta

f’(x)=3x^2

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