Derive as seguintes funções:
y=x^{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = x^{\sin(x)}. Aqui usamos diferenciação de potência com base e expoente variáveis, aplicando logaritmo e a regra do produto.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a diferenciação:
\ln(y) = \sin(x)\,\ln(x).

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, vem \tfrac{1}{y}y'. No direito, aplicamos a regra do produto em \sin(x)\ln(x):
\frac{1}{y}\,y' = \cos(x)\,\ln(x) + \sin(x)\,\frac{1}{x}.

Passo 4

Isolamos y' e voltamos à forma original de y:
y' = y\Bigl(\cos(x)\ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}\Bigr) = x^{\sin(x)}\Bigl(\cos(x)\ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}\Bigr).

Resposta

y' = x^{\sin(x)}\Bigl(\cos(x)\ln(x) + \tfrac{\sin(x)}{x}\Bigr)

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