Derive as seguintes funções:
y=\left[\frac{\left(x^{2}+1\right)}{x^{2}-1}\right]^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \left[\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}\right]^{3}.
O conteúdo envolvido é aplicação da regra da cadeia (para a potência cúbica) e da regra do quociente (para a função interna).

Passo 2

Definimos
u = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1},
de modo que
y = u^{3}.
Pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = 3\,u^{2}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{du}{dx} usando a regra do quociente:
u = \frac{v}{w},\quad v = x^{2}+1,\;w = x^{2}-1
então
\frac{du}{dx} = \frac{v' w - v\,w'}{w^{2}} = \frac{(2x)(x^{2}-1) - (x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{2x\bigl(x^{2}-1 - x^{2}-1\bigr)}{(x^{2}-1)^{2}} = \frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx} = 3\,u^{2}\,\frac{du}{dx}:
\frac{dy}{dx} = 3 \left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{2} \!\times\! \left(\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}\right) = -12x\,\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = -12x\,\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}.

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