Derive e simplifique.

Passo 1

O problema pede para derivar e simplificar a função y=l((3x+2)/(2x+1)r)^5. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para potências e a regra do quociente para derivadas de frações.

Passo 2

Definimos u(x)=3x+22x+1. Pela regra da cadeia, se y=[u(x)]^5, então
y'=5,[u(x)]^4cdot u'(x)

Passo 3

Para encontrar u'(x), aplicamos a regra do quociente: se u=f/g, então
u'(x)=f'(x),g(x)-f(x),g'(x)[g(x)]^2 Aqui f(x)=3x+2, f'(x)=3, g(x)=2x+1 e g'(x)=2.

Passo 4

Calculando
u'(x)=3(2x+1)-(3x+2)cdot2(2x+1)^2 = 6x+3-6x-4(2x+1)^2 = -1(2x+1)^2

Passo 5

Substituindo em y' e simplificando os expoentes:
y'=5,l(3x+22x+1r)^4cdotl(-1(2x+1)^2r) = -5,(3x+2)^4(2x+1)^4+2 = -5,(3x+2)^4(2x+1)^6

Resposta

-5,\frac{(3x+2)4}{(2x+1)6}

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