Prove.
integral cotgh(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida de cotgh(x), ou seja, integral cotgh(x),dx. O conteúdo é integração de funções hiperbólicas e vamos precisar conhecer a definição de cotgh(x) e usar substituição para reduzir a integral a uma forma padrão.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de cotgh(x):
cotgh(x)=cosh(x)sinh(x)
Então a integral fica:
integral cotgh(x),dx=integral cosh(x)sinh(x),dx

Passo 3

Agora percebemos que a derivada de sinh(x) é cosh(x). Fazendo a substituição
u=sinh(x), du=cosh(x),dx
temos
integral cosh(x)sinh(x),dx=integral duu=lnl|ur|+C
Voltando para x, concluímos
integral cotgh(x),dx=lnl|sinh(x)r|+C

Resposta

lnlvertsinh(x)rvert + C

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