Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função F(t)=tfrac12(t^2+5)(t^6+4t). Vamos usar a regra do produto e a derivada de potências para obter F'(t).

Passo 2

Primeiro, podemos “puxar” a constante tfrac12:
F(t)=12,g(t), g(t)=(t^2+5)(t^6+4t)
Como a derivada de c,g(t) é c,g'(t), basta achar g'(t) e depois multiplicar por tfrac12.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em g(t) = u(t)v(t), com u(t)=t^2+5 e v(t)=t^6+4t. Temos:
u'(t)=2t, v'(t)=6t^5+4,
e
g'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=(2t)(t^6+4t)+(t^2+5)(6t^5+4)

Passo 4

Vamos expandir e somar termos semelhantes:
(2t)(t^6+4t)=2t^7+8t^2,
(t^2+5)(6t^5+4)=6t^7+30t^5+4t^2+20
Somando:
g'(t)=2t^7+8t^2+6t^7+30t^5+4t^2+20=8t^7+30t^5+12t^2+20

Passo 5

Por fim, derivada de F(t) é
F'(t)=12,g'(t)=12(8t^7+30t^5+12t^2+20)=4t^7+15t^5+6t^2+10

Resposta

4t^7+15t^5+6t^2+10

Exercícios relacionados