Sabendo que
Lf(t)=F(s)=integral0^+infty f(t) e^-s t d t
e que
L^-1F(s)=sumzk Res[F(s) e^s t, zk],
onde zk são todos os pólos de F(s), use resíduos e a expressão acima para calcular. Neste exercício, considere a e b constantes reais.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)=1(s+a)^2 usando o método dos resíduos. Estamos na matéria de transformada de Laplace e vamos usar a fórmula de inversão por resíduos, que diz que
L^-1F(s)=sumzkRes[F(s)e^st,zk],
onde zk são os polos de F(s).

Passo 2

Identificamos que F(s)=1(s+a)^2 tem um único pólo de ordem 2 em s=-a.

Passo 3

Como é um pólo de ordem n=2, lembramos da fórmula do resíduo para polo de ordem n:
Res[g(s),s0]=1(n-1)!limsto s0d^n-1ds^n-1l[(s-s0)^n g(s)r]
Aqui g(s)=F(s)e^st, s0=-a e n=2.

Passo 4

Aplicando a fórmula, calculamos
(s+a)^2,F(s)e^st=e^st,
então
Res[F(s)e^st,-a]=limsto -addsl(e^str)=limsto -at,e^st=t,e^-a t

Resposta

t e^{-a t}

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