Derive e simplifique.

Passo 1

A questão pede para derivar a função
y = (x+lambda)^4x^4 + lambda^4
Este é um problema de derivada de quociente. Vamos precisar da regra do quociente e da derivada de uma potência para resolver.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente. Definindo
u = (x+lambda)^4, v = x^4 + lambda^4,
derivadas:
u' = 4(x+lambda)^3, v' = 4x^3
Então
y' = u'v - uv'v^2 = 4(x+lambda)^3l(x^4+lambda^4r) - (x+lambda)^4,4x^3(x^4+lambda^4)^2

Passo 3

Agora vamos fatorar o numerador. Colocando fator comum 4(x+lambda)^3:
Num = 4(x+lambda)^3l[(x^4+lambda^4) - x^3(x+lambda)r] = 4(x+lambda)^3l[x^4+lambda^4 - x^4 - x^3lambdar] = 4(x+lambda)^3l[lambda^4 - x^3lambdar]
E isso é
Num = 4lambda,(x+lambda)^3l(lambda^3 - x^3r)

Passo 4

Por fim, usamos a fatoração da diferença de cubos lambda^3 - x^3 = (lambda - x)(lambda^2 + lambda x + x^2). Assim a derivada fica
y' = 4lambda,(x+lambda)^3,(lambda - x),(lambda^2 + lambda x + x^2)(x^4 + lambda^4)^2

Resposta

y' = 4lambda,(x+lambda)^3,(lambda - x),(lambda^2 + lambda x + x^2)(x^4 + lambda^4)^2

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