Determine o (maior) domínio das seguintes funções (reais de variável real).
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Passo 1
O enunciado pede o maior domínio da função real de variável real \f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{x^{2}+x}}\. O assunto é domínio de funções envolvendo raiz e fração, e vamos precisar garantir que o denominador não zere e que o radicando seja não-negativo.
Passo 2
Primeiro, a gente impõe que o denominador não seja zero. Observamos que \x^{2}+x=x(x+1)\, logo excluímos x=0 e x=-1, pois ali a expressão fica indefinida.
Em seguida, exigimos que o radicando seja maior ou igual a zero: \frac{x+1}{x(x+1)}\geq 0\. Note que em x=-1 já está excluído, então para x\neq -1 podemos simplificar:
[\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}]
Em seguida, exigimos que o radicando seja maior ou igual a zero: \frac{x+1}{x(x+1)}\geq 0\. Note que em x=-1 já está excluído, então para x\neq -1 podemos simplificar:
[\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}]
Passo 3
Agora resolvemos a desigualdade simplificada: \frac{1}{x}\geq 0\. Isso acontece exatamente quando x>0.
Unindo todas as condições (x>0 e x\neq 0, -1), chegamos ao domínio final.
Como x>0 já exclui automaticamente x=0 e x=-1, o maior domínio da função é (0,\infty).
Unindo todas as condições (x>0 e x\neq 0, -1), chegamos ao domínio final.
Como x>0 já exclui automaticamente x=0 e x=-1, o maior domínio da função é (0,\infty).
Resposta
(0,\infty)