Encontre ao longo volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões ao longo do eixo-y:
x=y^2, x=2 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo-y a região limitada pelas curvas x=y^2 e x=2y. O conteúdo é volume por rotação (método dos anéis/discos) e vamos precisar: determinar os limites em y, identificar o raio externo e interno, montar a área da seção e integrar.

Passo 2

Para encontrar os limites em y, igualamos as curvas: y^2 = 2y. Assim,
y^2 - 2y = 0 ,Rightarrow, y(y - 2)=0 Rightarrow y=0 ou y=2

Passo 3

A cada valor de y, o raio externo (distância até a curva mais distante do eixo-y) é R(y)=2y e o raio interno é r(y)=y^2.
A área da seção transversal em y é a diferença de áreas de dois discos:
A(y)=pil[(R(y))^2 - (r(y))^2r]=pil[(2y)^2 - (y^2)^2r]=pil(4y^2 - y^4r)

Passo 4

O volume é a integral dessa área de y=0 a y=2:
V=integral0^2A(y),dy=piintegral0^2(4y^2 - y^4),dy

Passo 5

Calculando a integral:
V=pil[4y^33-y^55r]0^2 =pil(323-325r) =pi6415 =64pi15

Resposta

64pi15

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