Derive e simplifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: dado y=ln|x^2+42x+5|, vamos encontrar y' usando as regras de derivação de log e quociente.

Passo 2

Definimos u=x^2+42x+5, assim y=ln|u|. Pela regra da cadeia, a derivada é y'=u'u.

Passo 3

Para calcular u', aplicamos a regra do quociente a u=vw com v=x^2+4 e w=2x+5. Temos
u'=v'w - v,w'w^2 = 2x(2x+5) - (x^2+4)cdot2(2x+5)^2 = 4x^2+10x -2x^2 -8(2x+5)^2 = 2(x^2+5x-4)(2x+5)^2

Passo 4

Substituindo em y'=u'u:
y'=2(x^2+5x-4)/(2x+5)^2(x^2+4)/(2x+5) = 2(x^2+5x-4)(2x+5)^2cdot2x+5x^2+4 = 2(x^2+5x-4)(2x+5)(x^2+4)

Resposta

y'=2(x^2+5x-4)(2x+5)(x^2+4)

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