Use o Teorema de Gauss (da Divergência) para calcular o fluxo de F(x, y, z)=3 z4 pi k através da esfera
[
x{2}+y{2}+z{2}=a{2} .

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: queremos calcular o fluxo de F(x,y,z)=3z4pi,k através da esfera x^2+y^2+z^2=a^2. O conteúdo usado será o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência), que nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada S é igual à integral tripla do divergente de F sobre o volume V interno a S.

Passo 2

Cálculo do divergente: lembrando que nablacdotF=partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z. Aqui Fx=0, Fy=0 e Fz=3z4pi. Logo,
nablacdotF=0+0+partialpartial zl(3z4pir)=34pi

Passo 3

Aplicação do Teorema de Gauss:
integral duplaSFcdot dS=integral triplaV(nablacdotF),dV=34pi,integral triplaVdV

Passo 4

Cálculo do volume da esfera de raio a:
integral triplaVdV=43pi a^3

Passo 5

Substituindo, o fluxo fica
34pitimes43pi a^3=a^3

Resposta

a^3

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