Ache o comprimento de arco de cada curva abaixo nos intervalos especificados:
2 y=e^x+e^-x, x in[0,3].

Passo 1

Temos a curva definida por 2y = e^{x} + e^{-x} no intervalo x \in [0,3]. O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva y=f(x). Vamos usar a fórmula
L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx
para calcular o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro encontramos y e sua derivada. Da equação dada:
y = e^x + e^-x2 = cosh(x)
Derivando:
y' = ddxl(cosh(x)r) = sinh(x)
Usando a identidade hiperbólica 1 + sinh^2(x) = cosh^2(x), temos
1 + (y')^2 = 1 + sinh^2(x) = cosh^2(x)

Passo 3

Agora montamos a integral de comprimento de arco:
L = integral0^3 raiz1 + (y')^2,dx = integral0^3 raizcosh^2(x),dx = integral0^3 cosh(x),dx
Calculando a integral:
integral0^3 cosh(x),dx = l[sinh(x)r]0^3 = sinh(3) - sinh(0)

Passo 4

Como sinh(0)=0, concluímos que o comprimento de arco é
L = sinh(3) = e^3 - e^-32

Resposta

\sinh(3)

Exercícios relacionados