Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função composta bem aninhada: y=cosl(e^raiztan(3x)r). O conteúdo é derivadas de funções compostas, e vamos precisar usar a regra da cadeia várias vezes.

Passo 2

Definimos as funções internas em cascata: u = e^v, v = raizw e w = tan(3x). Assim, y = cos(u). Pela regra da cadeia, dydx = dyducdotdudvcdotdvdwcdotdwdx.

Passo 3

Calculamos cada derivada: para y = cos(u), temos dydu = -sin(u).
Para u = e^v, temos dudv = e^v. Para v = raizw = w^1/2, temos dvdw = tfrac12 w^-1/2 = 12raizw.

Passo 4

Por fim, para w=tan(3x), usaremos a derivada da tangente e a regra da cadeia interna: dwdx = sec^2(3x)cdot3.

Passo 5

Multiplicando tudo e substituindo u, v e w de volta, obtemos:
y' = -sinl(e^raiztan(3x)r)cdot e^raiztan(3x)cdot12raiztan(3x)cdot3sec^2(3x)
Essa expressão já está simplificada em termos de fator comum.

Resposta

y' = -3,e^raiztan(3x),sinl(e^raiztan(3x)r),sec^2(3x)2raiztan(3x)

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