Sejam y=x^4-12 x^2 e y=senh(x). Alguma destas curvas admite algum ponto com curvatura zero? Que pontos são estes?

Passo 1

O enunciado nos dá duas curvas: y=x^4-12x^2 e y=sinh(x). Queremos saber se alguma delas admite ponto onde a curvatura é zero, isto é, ponto de inflexão. Para isso, vamos usar a definição de curvatura de uma curva dada por y=y(x):
kappa(x)=|y''(x)|l(1+l(y'(x)r)^2r)^3/2
Pontos onde kappa(x)=0 ocorrem quando y''(x)=0 (desde que o denominador seja finito e não nulo).

Passo 2

Para y=x^4-12x^2 calculamos as derivadas:
y'=4x^3-24x,
y''=12x^2-24
Igualando y''=0:
12x^2-24=0Rightarrow x^2=2Rightarrow x=pmraiz2
Agora avaliaremos y nesses pontos:
y(pmraiz2)=(raiz2)^4-12(raiz2)^2=4-24=-20
Portanto, os pontos de curvatura zero nessa curva são (raiz2,-20) e (-raiz2,-20).

Passo 3

Para y=sinh(x) fazemos o mesmo. As derivadas são:
y'=cosh(x),
y''=sinh(x)
Igualando y''=0:
sinh(x)=0Rightarrow x=0
E o valor de y em x=0 é
y(0)=sinh(0)=0
Logo, essa curva tem ponto de curvatura zero em (0,0).

Resposta

A curva y=x^4-12x^2 admite curvatura zero em (raiz2,-20) e (-raiz2,-20), e a curva y=sinh(x) admite curvatura zero em (0,0).

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