Sejam a, b constantes. Use a definição de Transformada de Laplace e os teoremas de deslocamento para calcular

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a Transformada de Laplace de e^a tcos(bt) usando a definição e o teorema de deslocamento de frequência. Vamos precisar da definição de Laplace e do resultado da transformada de cos(bt).

Passo 2

Aplicar a definição de Laplace: a transformada de uma função f(t) é dada por
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t),dt
Tomando f(t) = e^a tcos(bt), obtemos
integral0^infty e^-st e^a t cos(bt),dt = integral0^infty e^-(s - a)t cos(bt),dt

Passo 3

Recordar a transformada de Laplace de cos(bt): para um parâmetro genérico p,
integral0^infty e^-p t cos(bt),dt = pp^2 + b^2

Passo 4

Usar o teorema de deslocamento de frequência trocando p = s - a na fórmula anterior, o que dá
integral0^infty e^-(s - a)t cos(bt),dt = s - a(s - a)^2 + b^2

Passo 5

Concluir que
Le^a tcos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2
válido para Re(s) > a.

Resposta

s - a(s - a)^2 + b^2

Exercícios relacionados