Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de k(z)= raizz^2+raizz^2+9. O conteúdo aqui é regra da cadeia em funções do tipo raiz quadrada, e vamos precisar da derivada de z^2 e da derivada de raizz^2+9.

Passo 2

Vamos enxergar k(z) como uma composição de três funções:
  • Função externa f(u)= raizu, cuja derivada é f’(u)= 1/(2raizu).
  • Função intermediária u(z)= z^2+v, onde v= raizz^2+9.
  • Função interna v(z)= raizz^2+9, cuja derivada conhecemos como derivada de raiz de soma de quadrados.

Passo 3

Primeiro, derivamos v(z):
v(z)=raizz^2+9implies v'(z)=12raizz^2+9cdot2z=zraizz^2+9
Em seguida, derivamos u(z):
u(z)=z^2+v(z)implies u'(z)=2z+v'(z)=2z+zraizz^2+9

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para k(z)=f(u(z)):
k'(z)=f'(u(z))cdot u'(z)=12raizu(z)l(2z+zraizz^2+9r)
Lembrando que u(z)=z^2+raizz^2+9, temos
k'(z)=2z+dfraczraizz^2+92raizz^2+raizz^2+9

Passo 5

Para simplificar, fatoramos z no numerador e reunimos frações:
2z+zraizz^2+9=zl(2+1raizz^2+9r)=z2raizz^2+9+1raizz^2+9
Substituindo de volta, a forma mais enxuta é:
k'(z) = z2raizz^2+9+1raizz^2+92raizz^2+raizz^2+9

Passo 6

A expressão final fica:
k'(z) = z(2raizz^2+9+1)2raizz^2+9raizz^2+raizz^2+9

Resposta

k'(z)=zl(2raizz^2+9+1r)2raizz^2+9,raizz^2+raizz^2+9

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