Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função holomorfa
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar que ela é harmônica (ou seja, satisfaz
Passo 2
Para mostrar que
é harmônica, lembramos que
Calculamos as derivadas parciais:
$$
u_x = e^x\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + e^x\cos y = e^x\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr),$$
$$
u_{xx} = e^x\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + e^x\cos y = e^x\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr),$$
$$
u_y = -e^x\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr),$$
Somando,
logo
é harmônica.
Passo 3
Agora usamos as equações de Cauchy-Riemann:
Já temos
Logo
Integramos em relação a
:
Derivando em
e igualando a
força
. Podemos então escolher
e obter
Passo 4
Por fim, escrevemos a função holomorfa
$$f(z)=u(x,y)+j,v(x,y) = e^x\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + j,e^x\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr).
$$
Resposta
A função é harmônica e sua conjugada é
v(x,y)=e^x\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr).
A função holomorfa correspondente é
f(z)=z,e^z.
v(x,y)=e^x\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr).
A função holomorfa correspondente é
f(z)=z,e^z.