Verifique que as funções a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada correspondente. Escreva a função holomorfa .

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=e^xl(xcos y - ysin yr)
e pede para verificar que ela é harmônica (ou seja, satisfaz De) e, em seguida, encontrar a função harmônica conjugada v(x,y) usando as equações de Cauchy-Riemann. Depois escrevemos a função holomorfa f(z)=u+ jv.

Passo 2

Para mostrar que u é harmônica, lembramos que
De
Calculamos as derivadas parciais:
$$
u_x = e^x\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + e^x\cos y = e^x\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr),$$
$$
u_{xx} = e^x\bigl((x+1)\cos y - y\sin y\bigr) + e^x\cos y = e^x\bigl((x+2)\cos y - y\sin y\bigr),$$
$$
u_y = -e^x\bigl((x+1)\sin y + y\cos y\bigr),$$
ux = e^xl(xcos y - ysin yr) + e^xcos y = e^xl((x+1)cos y - ysin yr),
Somando,
uxx = e^xl((x+1)cos y - ysin yr) + e^xcos y = e^xl((x+2)cos y - ysin yr),
logo uy = -e^xl((x+1)sin y + ycos yr), é harmônica.

Passo 3

Agora usamos as equações de Cauchy-Riemann:
ux = vy, uy = -vx
Já temos
ux = e^xl((x+1)cos y - ysin yr)
Logo
vy = e^xl((x+1)cos y - ysin yr)
Integramos em relação a y:
v(x,y) = integral vy,dy = e^xl((x+1)sin y + ycos y - sin yr) + phi(x) = e^xl(xsin y + ycos yr) + phi(x)
Derivando em x e igualando a -uy força phi'(x)=0. Podemos então escolher phi=0 e obter
v(x,y)=e^xl(xsin y + ycos yr)

Passo 4

Por fim, escrevemos a função holomorfa
$$f(z)=u(x,y)+j,v(x,y) = e^x\bigl(x\cos y - y\sin y\bigr) + j,e^x\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr).
f(z)=u(x,y)+j,v(x,y) = e^xl(xcos y - ysin yr) + j,e^xl(xsin y + ycos yr) f(z)=z,e^z.
$$

Resposta

A função é harmônica e sua conjugada é
v(x,y)=e^x\bigl(x\sin y + y\cos y\bigr).
A função holomorfa correspondente é
f(z)=z,e^z.

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