Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar em coordenadas polares a curva definida por
,
. O conteúdo envolvido é coordenadas polares e propriedades de funções exponenciais, já que precisamos entender como o raio
varia quando giramos o ângulo
.
Passo 2
Em coordenadas polares, cada ponto é dado por
. Aqui
cresce exponencialmente com
, pois podemos escrever
Vamos calcular alguns valores para visualizar: para
,
; para
,
; para
,
; para
,
; e para
,
.
Passo 3
Com esses pontos, no plano polar começamos em
no eixo positivo de
, depois em
,
,
e assim por diante. Ao ligar esses pontos de forma suave seguindo o sentido anti-horário, a curva se afasta continuamente do polo, formando uma espiral que se abre cada vez mais rápido.
Esse tipo de curva, dada por com
, é conhecida como espiral logarítmica ou espiral equiangular. A característica principal é que o ângulo entre a reta radial e a tangente à curva é constante.
Esse tipo de curva, dada por
Passo 4
Portanto, o esboço é uma espiral que inicia em
quando
e gira para fora indefinidamente, com crescimento exponencial do raio a cada volta. Não há autointerseções e o afastamento do polo acelera.
A identificação final é que a curva é uma espiral logarítmica com constante de crescimento
.
A identificação final é que a curva
Resposta
É uma espiral logarítmica (equiangular) que parte de
em
e se afasta do polo de forma exponencial conforme
cresce.