Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.
(i) r=2^theta ; theta >= 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em coordenadas polares a curva definida por r = 2^theta, theta >= 0. O conteúdo envolvido é coordenadas polares e propriedades de funções exponenciais, já que precisamos entender como o raio r varia quando giramos o ângulo theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, cada ponto é dado por (r,theta). Aqui r cresce exponencialmente com theta, pois podemos escrever r = 2^theta = e^(ln 2),theta Vamos calcular alguns valores para visualizar: para theta=0, r=1; para theta=1, r=2; para theta=2, r=4; para theta=piapprox3,14, r=2^3.14approx8,8; e para theta=2piapprox6,28, r=2^6.28approx78,6.

Passo 3

Com esses pontos, no plano polar começamos em (1,0) no eixo positivo de x, depois em (2,1), (4,2), (8,8,pi) e assim por diante. Ao ligar esses pontos de forma suave seguindo o sentido anti-horário, a curva se afasta continuamente do polo, formando uma espiral que se abre cada vez mais rápido.
Esse tipo de curva, dada por r = e^ktheta com k>0, é conhecida como espiral logarítmica ou espiral equiangular. A característica principal é que o ângulo entre a reta radial e a tangente à curva é constante.

Passo 4

Portanto, o esboço é uma espiral que inicia em r=1 quando theta=0 e gira para fora indefinidamente, com crescimento exponencial do raio a cada volta. Não há autointerseções e o afastamento do polo acelera.
A identificação final é que a curva r=2^theta é uma espiral logarítmica com constante de crescimento ln 2.

Resposta

É uma espiral logarítmica (equiangular) que parte de r=1 em theta=0 e se afasta do polo de forma exponencial conforme theta cresce.

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