Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função
f(x)=6x^2-5x+2raiz[3]x^2
O conteúdo é derivação de funções através da regra do poder (power rule) e uso de expoentes fracionários (para tratar a raiz cúbica).

Passo 2

Primeiro reescrevemos cada termo com potências: a parte 5/x vira 5x^-1 e a raiz cúbica raiz[3]x^2 vira x^2/3, logo
f(x)=6x^2-5x^-1+2x^-2/3

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder ddxx^n=nx^n-1 termo a termo:
  • Derivada de 6x^2 é 12x.
  • Derivada de -5x^-1 é -5cdot(-1)x^-2=5x^-2.
  • Derivada de 2x^-2/3 é 2cdot(-tfrac23)x^-5/3=-tfrac43x^-5/3
Assim
f'(x)=12x+5x^-2-43x^-5/3

Passo 4

Para simplificar, vamos juntar tudo numa única fração. Escolhemos o denominador comum 3x^5/3. Convertendo cada termo:
12x=12xcdot x^5/3x^5/3=12x^8/3x^5/3,
5x^-2=5x^-2cdot x^5/3x^5/3=5x^-1/3x^5/3,
-tfrac43x^-5/3=-431x^5/3
Somando-os:
f'(x)=36x^8/3+15x^-1/3-43x^5/3

Passo 5

Finalmente, fatoramos x^-1/3 no numerador ou simplificamos os expoentes para eliminar potências negativas. Isso leva a
$$f’(x)=\frac{36x3-4x{1/3}+15}{3x^2}.
$$
Substituindo f'(x)=36x^3-4x^1/3+153x^2 fica a forma mais legível.

Resposta

f'(x)= 36x^3-4raiz[3]x+153x^2

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