Verifique as seguintes identidades. Indique quando a operação for impossível.
nabla times(F+G)=nabla times F+nabla times G

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos a identidade do rotor (ou rotacional) de uma soma de campos vetoriais, isto é, mostrar que nabla times (F+G) = nabla times F + nabla times G. Esse é um problema de cálculo vetorial e vamos precisar da definição de rotacional via componentes ou determinante para comprovar a linearidade.

Passo 2

Lembrando que, para um campo vetorial H = (H1,H2,H3), o rotacional é dado por
nabla times H = i & j & k partialx & partialy & partialz H1 & H2 & H3
Aplicamos isso a H = F+G = (F1+G1,,F2+G2,,F3+G3).
Expandindo o determinante e usando a linearidade das derivadas em soma de funções, obtemos
nabla times (F+G) = partialy(F3+G3) - partialz(F2+G2) partialz(F1+G1) - partialx(F3+G3) partialx(F2+G2) - partialy(F1+G1)
Distribuindo cada derivada sobre a soma e agrupando termos, isso se separa em
[
partialyF3 - partialzF2 partialzF1 - partialxF3 partialxF2 - partialyF1
+
partialyG3 - partialzG2 partialzG1 - partialxG3 partialxG2 - partialyG1
= \nabla \times \mathbf{F} + \nabla \times \mathbf{G}

Passo 3

Como chegamos exatamente ao somatório dos rotores de F e de G, provamos que a identidade é verdadeira em qualquer ponto onde F e G sejam diferenciáveis.

Resposta

A identidade vale: nabla times (F+G) = nabla times F + nabla times G.

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