Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
y^2=4 x e y=x em torno da reta x=-2.

Passo 1

Temos a região limitada pelas curvas y^2 = 4x e y = x, que é girada em torno da reta x = -2. O conteúdo é cálculo de volume de revolução usando o método das cascas cilíndricas: vamos precisar achar os pontos de interseção, descrever a região em termos de x e montar a integral das cascas.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos y^2 = 4x e y = x. Substituindo y = x em y^2 = 4x x^2 = 4x, cujas soluções são x = 0 e x = 4. Assim, y = 0 e y = 4.

Passo 3

Vamos descrever a região em função de x. Da parábola obtemos y = 2raizx. Para 0 <= x <= 4, verifica-se que 2raizx >= x, ou seja, a curva superior é yrm sup(x)=2raizx e a inferior é yrm inf(x)=x. Logo, a altura da casca é h(x)=2raizx-x.

Passo 4

No método das cascas, a distância (raio) de um ponto x ao eixo x=-2 é r(x)=x-(-2)=x+2, e a espessura é dx. Portanto o volume é dado por
V = 2pi integral0^4 r(x),h(x),dx = 2pi integral0^4 (x+2)l(2raizx - xr),dx

Passo 5

Agora expandimos o integrando:
(x+2)(2x^1/2-x)=2x^3/2-x^2+4x^1/2-2x

Passo 6

Integramos termo a termo de 0 a 4:
integral0^4l(2x^3/2-x^2+4x^1/2-2xr)dx = l[tfrac45x^5/2-tfrac13x^3+tfrac83x^3/2-x^2r]0^4 = 485

Passo 7

Multiplicando por 2pi obtemos
V = 2pi cdot 485 = 96pi5

Resposta

96pi5

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