Em cada item, a região delimitada pelas curvas abaixo é rotacionada em torno do eixo dado gerando um sólido. Calcule o volume do sólido.
e
em torno da reta
.
Passo 1
Temos a região limitada pelas curvas
e
, que é girada em torno da reta
. O conteúdo é cálculo de volume de revolução usando o método das cascas cilíndricas: vamos precisar achar os pontos de interseção, descrever a região em termos de
e montar a integral das cascas.
Passo 2
Para encontrar os limites de integração, igualamos
e
. Substituindo
em
dá
, cujas soluções são
e
. Assim,
e
.
Passo 3
Vamos descrever a região em função de
. Da parábola obtemos
. Para
, verifica-se que
, ou seja, a curva superior é
e a inferior é
. Logo, a altura da casca é
.
Passo 4
No método das cascas, a distância (raio) de um ponto
ao eixo
é
, e a espessura é
. Portanto o volume é dado por
Passo 5
Agora expandimos o integrando:
Passo 6
Integramos termo a termo de 0 a 4:
Passo 7
Multiplicando por
obtemos