(Velocidade angular) Suponha que uma partícula P está girando em torno do eixo- z, numa trajetória circular de raio a em um plano paralelo ao plano- x y. Suponha que a variação d theta / d t é constante igual a omega. O vetor omega=omega k (paralelo ao eixo- z com magnitude omega ) é chamado de velocidade angular de P. Se r(t)=a cos (omega t) i+a sen(omega t) j+h k, mostre que omega times r(t)=r^prime(t).

Passo 1

Temos uma partícula girando em torno do eixo-z com raio a, em um plano paralelo a xy, cuja posição é dada por r(t)=acos(omega t),i+asin(omega t),j+h,k. A velocidade angular é constante e vale dtheta/dt=omega, representada pelo vetor omega=omega,k. Vamos usar derivada de vetores e definição de produto vetorial para mostrar que omegatimesr(t)=r'(t).

Passo 2

Escrevendo componentes: omega=(0,0,omega) e r(t)=(acos(omega t),,asin(omega t),,h). Sabemos que para um vetor (x,y,z) a derivada é feita componente a componente.
Calculando a derivada de r(t):
r'(t)=l(-aomegasin(omega t),,aomegacos(omega t),,0r)

Passo 3

Usando a definição de produto vetorial em componentes:
omegatimesr(t)= i & j & k 0 & 0 & omega acos(omega t) & asin(omega t) & h =l(-omega,asin(omega t),,omega,acos(omega t),,0r)

Passo 4

Comparando os resultados vemos que
, o que completa a demonstração.

Resposta

omegatimesr(t)=r'(t).

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