Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de k(s) = (2s^2 - 3s + 1)(9s - 1)^4. O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto: se k(s) = u(s)v(s), então k'(s) = u'(s)v(s) + u(s)v'(s). Aqui u(s) = 2s^2 - 3s + 1 e v(s) = (9s - 1)^4.

Passo 3

Calculamos u'(s): derivando 2s^2 - 3s + 1 vem
u'(s) = 4s - 3

Passo 4

Calculamos v'(s) usando a regra da cadeia: se v(s) = [w(s)]^4 com w(s) = 9s - 1, então
v'(s) = 4[w(s)]^3 ,w'(s) = 4(9s - 1)^3 cdot 9 = 36(9s - 1)^3

Passo 5

Substituindo em k'(s) = u'(s)v(s) + u(s)v'(s) obtemos
k'(s) = (4s - 3)(9s - 1)^4 + (2s^2 - 3s + 1),36(9s - 1)^3

Passo 6

Agora fatoramos o fator comum (9s - 1)^3:
k'(s) = (9s - 1)^3l[(4s - 3)(9s - 1) + 36(2s^2 - 3s + 1)r]

Passo 7

Expandindo cada parte dentro dos colchetes:
(4s - 3)(9s - 1) = 36s^2 - 4s - 27s + 3 = 36s^2 - 31s + 3,
36(2s^2 - 3s + 1) = 72s^2 - 108s + 36

Passo 8

Somando-as:
36s^2 - 31s + 3 + 72s^2 - 108s + 36 = 108s^2 - 139s + 39

Passo 9

Logo a forma simplificada fica
k'(s) = (9s - 1)^3,(108s^2 - 139s + 39)

Resposta

k'(s) = (9s - 1)^3,(108s^2 - 139s + 39)

Exercícios relacionados