Faça o que se pede.
(a) Primeiro, mostre que um círculo de raio tem curvatura .
(b) Agora, calcule a curvatura da curva .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que um círculo de raio tem curvatura e (b) calcular a curvatura da curva plana definida por
Vamos usar o conceito de curvatura de uma curva paramétrica no plano, que requer calcular derivadas de primeira e segunda ordem e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Para qualquer curva plana , a curvatura é dada por
Essa fórmula mede a taxa de variação da direção da tangente em função do comprimento de arco.
Passo 3
(a) Vamos parametrizar o círculo de raio a por
r(t)=l(acos t,;asin tr),
onde t varia de 0 a 2pi. Em seguida, calculamos as derivadas.