Faça o que se pede.
(a) Primeiro, mostre que um círculo de raio a tem curvatura 1 / a.
(b) Agora, calcule a curvatura da curva .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que um círculo de raio a tem curvatura 1/a e (b) calcular a curvatura da curva plana definida por
r(t)=l(integral0^tsinl(tfracpi u^22r),du,;integral0^tcosl(tfracpi u^22r),dur)
Vamos usar o conceito de curvatura de uma curva paramétrica no plano, que requer calcular derivadas de primeira e segunda ordem e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Para qualquer curva plana r(t)=(x(t),y(t)), a curvatura é dada por
kappa(t)=l|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)r|l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2
Essa fórmula mede a taxa de variação da direção da tangente em função do comprimento de arco.

Passo 3

(a) Vamos parametrizar o círculo de raio a por
r(t)=l(acos t,;asin tr),
onde t varia de 0 a 2pi. Em seguida, calculamos as derivadas.

Passo 4

Da parametrização temos
r'(t)=l(-asin t,;acos tr),
r''(t)=l(-acos t,;-asin tr)
Note que |r'(t)|=a.

Passo 5

Substituindo na fórmula de curvatura:
kappa(t)=l|(-asin t)(-asin t)-(acos t)(-acos t)r|l(a^2r)^3/2 =a^2(sin^2t+cos^2t)a^3=1a
Como o resultado não depende de t, concluímos que qualquer ponto do círculo tem curvatura 1/a.

Passo 6

(b) Para a curva dada definimos
x(t)=integral0^tsinl(tfracpi u^22r)du, y(t)=integral0^tcosl(tfracpi u^22r)du
Pela regra de diferenciação de integrais de parâmetro, temos as derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 7

As derivadas são
x'(t)=sinl(tfracpi t^22r), y'(t)=cosl(tfracpi t^22r),
x''(t)=pi tcosl(tfracpi t^22r), y''(t)=-pi tsinl(tfracpi t^22r)
Note que x'(t)^2+y'(t)^2=1.

Passo 8

Aplicando a fórmula de curvatura:
kappa(t)=l|x'y''-y'x''r|(x'^2+y'^2)^3/2 =l|sin(tfracpi t^22)(-pi tsin(tfracpi t^22))-cos(tfracpi t^22)(pi tcos(tfracpi t^22))r| =pi|t|
Portanto, a curvatura dessa curva varia linearmente com |t|.

Resposta

(a) kappa=1/a. (b) kappa(t)=pi|t|.

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