Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.

Passo 1

Esse exercício pede para esboçar e identificar a curva dada pela equação polar r = 8cos(3theta). O conteúdo é curvas em coordenadas polares, mais especificamente as chamadas rosas polares (rose curves).

Passo 2

Na teoria de rosas polares, a forma geral é r = acos(ntheta) ou r = asin(ntheta). Se n for ímpar, a rosa tem n pétalas; se n for par, tem 2n pétalas. O comprimento de cada pétala é e |a| Neste caso, (a=8, e portanto teremos uma rosa de 3 pétalas, cada uma de comprimento 8.

Passo 3

Para encontrar a direção de cada pétala, buscamos os valores de theta tais que cos(3theta)=1, pois isso maximiza r em r=8. Resolvendo
3theta = 2kpi Rightarrow theta = 2kpi3, k=0,1,2, vemos que as pétalas principais estão em theta=0, theta=2pi/3 e theta=4pi/3. Entre esses ângulos, r fica negativo, mas isso apenas reflete o ponto para o lado oposto, reforçando as mesmas pétalas.

Passo 4

No esboço, marcamos o eixo polar (linha horizontal como theta=0), depois desenhamos três pétalas de extensão 8 saindo dos ângulos 0, 2pi/3 e 4pi/3. A curva é simétrica em relação ao eixo horizontal e tem formato de rosa com 3 pétalas igualmente espaçadas.

Passo 5

Portanto, ao esboçar, basta desenhar uma pétala apontando para a direita de comprimento 8 e mais duas pétalas a 120° e 240° do eixo horizontal, completando a rosa de 3 pétalas.

Resposta

Rosa polar de 3 pétalas (rose curve) com comprimento de pétala 8, cujas direções principais são em theta=0,,2pi/3 e 4pi/3.

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