Derive e simplifique.
f(x)=arcsen(2 sen(x) cos (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=arcsen(2 sen x cos x).
O conteúdo principal é derivada de função composta (regra da cadeia) e, em particular, a derivada de arcsen(u).

Passo 2

Definimos a função interna u(x)=2 sen x cos x. Usando a identidade trigonométrica 2 sen x cos x=sen(2x), temos
u(x)=sin(2x)
Agora calculamos u′(x):
u'(x)=ddx[sin(2x)]=2cos(2x)

Passo 3

Aplicamos a derivada de arcsen(u). Se f(x)=arcsen(u(x)), então
f'(x)=u'(x)raiz1-l(u(x)r)^2
Substituindo u(x) e u′(x):

Passo 4

f'(x)=2cos(2x)raiz1-sin^2(2x)
Usamos a identidade trigonométrica 1-sin^2(2x)=cos^2(2x) e lembramos que raizcos^2(2x)=|cos(2x)|.

Passo 5

Logo, a derivada se simplifica para
f'(x)=2cos(2x)|cos(2x)|=2,sgn(cos(2x)),
onde
sgn(cos(2x))= 1,&cos(2x)>0, -1,&cos(2x)<0

Resposta

f'(x)=2cos(2x)|cos(2x)|=2,sgn(cos(2x)),isto é, 2,&cos(2x)>0,-2,&cos(2x)<0é

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