Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
f(x)=arcsen(2 sen x cos x).
O conteúdo principal é derivada de função composta (regra da cadeia) e, em particular, a derivada de arcsen(u).
f(x)=arcsen(2 sen x cos x).
O conteúdo principal é derivada de função composta (regra da cadeia) e, em particular, a derivada de arcsen(u).
Passo 2
Definimos a função interna u(x)=2 sen x cos x. Usando a identidade trigonométrica 2 sen x cos x=sen(2x), temos
Agora calculamos u′(x):
Passo 3
Aplicamos a derivada de arcsen(u). Se f(x)=arcsen(u(x)), então
Substituindo u(x) e u′(x):
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica
e lembramos que
.
Passo 5
Logo, a derivada se simplifica para
onde