Sejam a, b constantes. Use a definição de Transformada de Laplace e os teoremas de deslocamento para calcular

Passo 1

Queremos calcular a transformada de Laplace de e^a tsinh(b t). Para isso vamos usar a definição de transformada de Laplace e o teorema de deslocamento no eixo s.

Passo 2

Recordamos que, por definição,
Lf(t)=integral0^infty e^-s tf(t),dt
Aplicando a f(t)=e^a tsinh(b t) obtemos:
Le^a tsinh(b t)=integral0^infty e^-s tl(e^a tsinh(b t)r),dt=integral0^infty e^-(s - a)tsinh(b t),dt

Passo 3

Usamos a identidade da função hiperbólica:
sinh(b t)=e^b t-e^-b t2,
de modo que o integral se separa em duas partes:
integral0^infty e^-(s - a)tsinh(b t),dt=12integral0^inftyl(e^-(s - a - b)t-e^-(s - a + b)tr),dt

Passo 4

Para Re(s - apm b)>0 usamos
integral0^infty e^-alpha t,dt=1alpha,
e obtemos
12l(1s - a - b-1s - a + br)

Passo 5

Fazendo a subtração de frações temos
12(s - a + b)-(s - a - b)(s - a - b)(s - a + b)=b(s - a)^2-b^2

Passo 6

Como alternativa rápida, pelo teorema do deslocamento: se Lsinh(b t)=bs^2-b^2, então Le^a tsinh(b t)=b(s - a)^2-b^2

Resposta

b(s - a)^2 - b^2

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