Encontre um campo conservativo que tenha o seguinte potencial
f(x, y, z)=y^2 e^-3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um campo conservativo cujo potencial é dado por f(x,y,z)=y^2 e^{-3x}. O conteúdo envolvido é gradiente de uma função escalar em ℝ^3, pois qualquer campo conservativo F pode ser escrito como F=∇f.
Em teoria, para uma função f(x,y,z), o gradiente é definido por ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z). Esse gradiente produz um campo vetorial que é conservativo por definição.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
– Para ∂f/∂x, tratamos y como constante e derivamos em relação a x: ∂f/∂x = y2·(−3)e{-3x} = −3y^2 e^{-3x}.
– Para ∂f/∂y, tratamos x como constante e derivamos em relação a y: ∂f/∂y = 2y e^{-3x}.
– Para ∂f/∂z, vemos que f não depende de z, então ∂f/∂z = 0.

Passo 3

Ótimo, agora agrupamos essas derivadas para formar o campo conservativo F=∇f.

Resposta

F(x,y,z)=(-3y^2 e^{-3x},;2y e^{-3x},;0)

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