Se f(t)=2 t e g(t)=t^3. Calcule a convolução (f * g)(t), onde (f * g)(t)=integral0^t f(t-tau) g(tau) d tau.
R. t^5 / 10;

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a convolução de duas funções polinomiais dadas por f(t)=2t e g(t)=t³. O conteúdo principal é a definição de convolução de duas funções em termos de uma integral de 0 até t, e precisamos usar regras de integração de polinômios para resolver.

Passo 2

Pela definição de convolução temos
(f*g)(t)=integral0^tf(t-tau),g(tau),dtau
Substituindo f(t−τ)=2(t−τ) e g(τ)=τ³, fica:
(f*g)(t)=integral0^t2,(t-tau),tau^3,dtau

Passo 3

Para facilitar a integração, expandimos o integrando usando distributiva:
2,(t-tau),tau^3=2l(t,tau^3-tau^4r)
Então podemos escrever:
(f*g)(t)=2integral0^tl(t,tau^3-tau^4r),dtau =2l(integral0^tt,tau^3,dtau - integral0^ttau^4,dtaur)

Passo 4

Agora calculamos cada integral de polinômio, lembrando que t é constante dentro da primeira integral e que integral0^ttau^n,dtau=tfract^n+1n+1:
integral0^tt,tau^3,dtau = tcdott^44=t^54,
integral0^ttau^4,dtau = t^55

Passo 5

Substituindo esses resultados em (f*g)(t) e simplificando:
(f*g)(t)=2l(t^54-t^55r)=2cdott^520=t^510

Resposta

t^5/10

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