Se
e
. Calcule a convolução
, onde
.
R.
;
R.
Passo 1
Neste exercício queremos calcular a convolução de duas funções polinomiais dadas por f(t)=2t e g(t)=t³. O conteúdo principal é a definição de convolução de duas funções em termos de uma integral de 0 até t, e precisamos usar regras de integração de polinômios para resolver.
Passo 2
Pela definição de convolução temos
Substituindo f(t−τ)=2(t−τ) e g(τ)=τ³, fica:
Passo 3
Para facilitar a integração, expandimos o integrando usando distributiva:
Então podemos escrever:
Passo 4
Agora calculamos cada integral de polinômio, lembrando que
é constante dentro da primeira integral e que
:
Passo 5
Substituindo esses resultados em (f*g)(t) e simplificando: