Desenhe (perfeitamente) cada um dos seguintes sólidos de revolução. Calcule seu volume.
Sólido formado pela rotação de f(x)=x^2+1, para x entre -1 e 1 , em torno do eixo- x.

Passo 1

Nesse exercício, gira-se a curva y=x^2+1 no intervalo xin[-1,1] em torno do eixo x. O sólido gerado é um parabolóide de revolução com raio mínimo 1 (em x=0) e máximo 2 (em x=pm1). Para encontrar o volume, vamos usar o método dos discos, que integra áreas circulares ao longo do eixo.

Passo 2

Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular ao eixo x forma um círculo de raio f(x), portanto a área é pi[f(x)]^2. Assim, o volume é
V = pi integral-1^1 (x^2+1)^2 , dx

Passo 3

Expandindo o integrando e aproveitando a simetria de funções pares, temos
(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1,
integral-1^1(x^4 + 2x^2 + 1),dx = 2integral0^1(x^4 + 2x^2 + 1),dx
Calculando essa integral:
2l[x^55 + 2x^33 + xr]0^1 = 2l(15 + 23 + 1r) = 2cdot2815 = 5615
Logo, a parte sem o fator pi vale 56/15.

Resposta

tfrac56pi15

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