Derive e simplifique.
g(y)=raiz1+cos 2 y

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(y)=raiz1+cos2y. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e identidades trigonométricas para cos2y e sin2y.

Passo 2

Vamos reescrever g(y) como uma composição de funções: definimos u(y)=1+cos2y e h(u)=raizu, de modo que g(y)=hl(u(y)r). A teoria que vamos usar é a regra da cadeia:
Para aplicar a regra da cadeia, precisamos de h'(u) e de u'(y). Calculamos:
h(u)=u^1/2 Longrightarrow h'(u)=tfrac12u^-1/2=12raizu,
e
u(y)=1+cos2y Longrightarrow u'(y)=-sin2ycdot2=-2sin2y

Passo 3

Agora juntamos pelas regras da cadeia:
g'(y)=h'(u(y)),u'(y)=12raiz1+cos2y;(-2sin2y)=-sin2yraiz1+cos2y

Passo 4

Para simplificar, usamos as identidades trigonométricas:
1+cos2y=2cos^2y,
sin2y=2sin ycos y,
e portanto
raiz1+cos2y=raiz2cos^2y=raiz2,|cos y|

Passo 5

Substituindo em g'(y):
g'(y)=-2sin ycos yraiz2,|cos y|=-raiz2,sin y;cos y|cos y|=-raiz2,sin y;sgn(cos y)

Resposta

g’(y) = -\sqrt{2},\sin y;\operatorname{sgn}(\cos y)

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