Derive e simplifique.
P(theta)=theta^2 cos ^2 theta^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função P(theta)=theta^2cos^2(theta^2). O conteúdo aqui é a derivação de um produto de funções composto, então vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro identificamos as duas funções que formam o produto: u(theta)=theta^2 e v(theta)=cos^2(theta^2). Pela regra do produto, temos: P'(theta)=u'(theta),v(theta)+u(theta),v'(theta)

Passo 3

Calculamos u'(theta). Como u(theta)=theta^2, sua derivada é u'(theta)=2theta. Substituindo na expressão da regra do produto, a primeira parcela fica: 2thetacdotcos^2(theta^2)

Passo 4

Agora derivamos v(theta)=cos^2(theta^2) usando a regra da cadeia em dois níveis: (1) função externa wmapsto w^2 e (2) função intermediária wmapstocos(w) com w=theta^2.

Passo 5

Derivada da parte externa: se f(w)=w^2, então f'(w)=2w. Aplicando em w=cos(theta^2) 2cos(theta^2).

Passo 6

Derivada da parte intermediária: se g(z)=cos(z), então g'(z)=-sin(z). Aplicando em z=theta^2 e multiplicando pela derivada de theta^2 (que é 2theta) obtemos: -sin(theta^2)cdot2theta

Passo 7

Multiplicando todas essas taxas de variação pela regra da cadeia, temos: v'(theta)=2cos(theta^2)timesl(-sin(theta^2)cdot2thetar)=-4thetacos(theta^2)sin(theta^2)

Passo 8

Substituindo u'(theta), u(theta), v(theta) e v'(theta) na fórmula da regra do produto, chega-se a: $$P’(\theta)=2\theta\cos{2}(\theta{2})+\theta{2}\bigl(-4\theta\cos(\theta{2})\sin(\theta^{2})\bigr).
$$

Passo 9

Por fim, simplificamos fatorando 2theta e usando a identidade 2sin(a)cos(a)=sin(2a) para reescrever 4thetacos(theta^2)sin(theta^2)=2thetasin(2theta^2). Assim obtemos: P'(theta)=2thetacos^2(theta^2)-2theta^3sin(2theta^2)

Resposta

P'(theta)=2thetacos^2(theta^2)-2theta^3sin(2theta^2)

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