Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede para derivar e simplificar a função
. O conteúdo aqui é a derivação de um produto de funções composto, então vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro identificamos as duas funções que formam o produto:
e
. Pela regra do produto, temos:
Passo 3
Calculamos
. Como
, sua derivada é
. Substituindo na expressão da regra do produto, a primeira parcela fica:
Passo 4
Agora derivamos
usando a regra da cadeia em dois níveis: (1) função externa
e (2) função intermediária
com
.
Passo 5
Derivada da parte externa: se
, então
. Aplicando em
dá
.
Passo 6
Derivada da parte intermediária: se
, então
. Aplicando em
e multiplicando pela derivada de
(que é
) obtemos:
Passo 7
Multiplicando todas essas taxas de variação pela regra da cadeia, temos:
Passo 8
Substituindo
,
,
e
na fórmula da regra do produto, chega-se a: $$P’(\theta)=2\theta\cos{2}(\theta{2})+\theta{2}\bigl(-4\theta\cos(\theta{2})\sin(\theta^{2})\bigr).
$$
Passo 9
Por fim, simplificamos fatorando
e usando a identidade
para reescrever
. Assim obtemos: