Derive e simplifique.
S(t)=raizt^2+t+1 raiz[3]4 t-9

Passo 1

O enunciado pede a derivada e simplificação de S(t)=raizt^2+t+1,raiz[3]4t-9. O conteúdo envolve regra do produto e derivação de potências com expoentes fracionários.

Passo 2

Identificamos as funções
f(t)=(t2+t+1){1/2}
e
g(t)=(4t-9)^{1/3}
para usar a regra do produto
S’(t)=f’(t),g(t)+f(t),g’(t).

Passo 3

Calcular f'(t) usando a regra da cadeia para potências.
[f’(t)=\tfrac12(t2+t+1){-1/2}·(2t+1)=\frac{2t+1}{2\sqrt{t^2+t+1}}.]

Passo 4

Calcular g'(t) de (4t-9)^1/3.
[g’(t)=\tfrac13(4t-9){-2/3}·4=\frac{4}{3}(4t-9){-2/3}.]

Passo 5

Substituir na regra do produto.
[S’(t)=\frac{2t+1}{2\sqrt{t2+t+1}}(4t-9){1/3}+\sqrt{t2+t+1},\frac{4}{3}(4t-9){-2/3}.]

Passo 6

Colocar em evidência o fator comum (t^2+t+1)^-1/2(4t-9)^-2/3:
[S’(t)=(t2+t+1){-1/2}(4t-9){-2/3}\Bigl(\frac{2t+1}{2}(4t-9)+\frac{4}{3}(t2+t+1)\Bigr).]

Passo 7

Somar as frações no parêntese com denominador comum 6 e simplificar o numerador. A soma dá:
[\frac{32t^2-34t-19}{6}.]

Passo 8

Reescrever o resultado em forma de radical:
[(t2+t+1){-1/2}=\frac1{\sqrt{t2+t+1}},\quad(4t-9){-2/3}=\frac1{\sqrt[3]{(4t-9)^2}}.]

Resposta

S'(t)=32t^2-34t-196raizt^2+t+1,raiz[3](4t-9)^2.

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