Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede a derivada e simplificação de
. O conteúdo envolve regra do produto e derivação de potências com expoentes fracionários.
Passo 2
Identificamos as funções
f(t)=(t2+t+1){1/2}
e
g(t)=(4t-9)^{1/3}
para usar a regra do produto
S’(t)=f’(t),g(t)+f(t),g’(t).
f(t)=(t2+t+1){1/2}
e
g(t)=(4t-9)^{1/3}
para usar a regra do produto
S’(t)=f’(t),g(t)+f(t),g’(t).
Passo 3
Calcular
usando a regra da cadeia para potências.
[f’(t)=\tfrac12(t2+t+1){-1/2}·(2t+1)=\frac{2t+1}{2\sqrt{t^2+t+1}}.]
[f’(t)=\tfrac12(t2+t+1){-1/2}·(2t+1)=\frac{2t+1}{2\sqrt{t^2+t+1}}.]
Passo 4
Calcular
de
.
[g’(t)=\tfrac13(4t-9){-2/3}·4=\frac{4}{3}(4t-9){-2/3}.]
[g’(t)=\tfrac13(4t-9){-2/3}·4=\frac{4}{3}(4t-9){-2/3}.]
Passo 5
Substituir na regra do produto.
[S’(t)=\frac{2t+1}{2\sqrt{t2+t+1}}(4t-9){1/3}+\sqrt{t2+t+1},\frac{4}{3}(4t-9){-2/3}.]
[S’(t)=\frac{2t+1}{2\sqrt{t2+t+1}}(4t-9){1/3}+\sqrt{t2+t+1},\frac{4}{3}(4t-9){-2/3}.]
Passo 6
Colocar em evidência o fator comum
:
[S’(t)=(t2+t+1){-1/2}(4t-9){-2/3}\Bigl(\frac{2t+1}{2}(4t-9)+\frac{4}{3}(t2+t+1)\Bigr).]
[S’(t)=(t2+t+1){-1/2}(4t-9){-2/3}\Bigl(\frac{2t+1}{2}(4t-9)+\frac{4}{3}(t2+t+1)\Bigr).]
Passo 7
Somar as frações no parêntese com denominador comum 6 e simplificar o numerador. A soma dá:
[\frac{32t^2-34t-19}{6}.]
[\frac{32t^2-34t-19}{6}.]
Passo 8
Reescrever o resultado em forma de radical:
[(t2+t+1){-1/2}=\frac1{\sqrt{t2+t+1}},\quad(4t-9){-2/3}=\frac1{\sqrt[3]{(4t-9)^2}}.]
[(t2+t+1){-1/2}=\frac1{\sqrt{t2+t+1}},\quad(4t-9){-2/3}=\frac1{\sqrt[3]{(4t-9)^2}}.]