Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede para derivar e simplificar a função
. Esse exercício envolve o conceito de derivada de função inversa e a identidade hiperbólica
. Vamos usar também derivação implícita e a regra da cadeia.
Passo 2
Como
é a inversa de
, podemos escrever implicitamente
. Derivando em relação a
temos:
Passo 3
Isolando
:
Passo 4
Usamos agora a identidade hiperbólica
. Como
, segue:
Passo 5
Substituindo em
obtemos a forma final da derivada: