Derive e simplifique.
y=argsenh(x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y=argsenh(x). Esse exercício envolve o conceito de derivada de função inversa e a identidade hiperbólica cosh^2(t)-sinh^2(t)=1. Vamos usar também derivação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Como argsenh é a inversa de sinh, podemos escrever implicitamente x=sinh(y). Derivando em relação a x temos:
1 = ddxl(sinh(y)r) = cosh(y) cdot dydx

Passo 3

Isolando dydx:
dydx = 1cosh(y)

Passo 4

Usamos agora a identidade hiperbólica cosh^2(y)-sinh^2(y)=1. Como sinh(y)=x, segue:
cosh(y)=raiz1+sinh^2(y)=raiz1+x^2

Passo 5

Substituindo em dydx obtemos a forma final da derivada:

Resposta

1raiz1+x^2

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