Esboce o gráfico de uma função
para a qual
se
; e a função
é crescente no intervalo fechados
e
.
Passo 1
Temos uma função periódica de período 2, com |f(x)|≤1 para todo x, que satisfaz f(n)=0 (n∈ℕ), f((2n−1)/2)=(−1)^{n+1}, f(x)≥0 em cada [n−1,n] e é crescente em [0,1/2] e em [3/2,2]. O conteúdo aqui é construir graficamente uma função triangular usando pontos e monotonicidade num período.
Passo 2
No período fundamental [0,2], calculamos os valores nos pontos-chaves: f(0)=f(2)=0; f(1/2)=1 (para n=1); f(1)=0; f(3/2)=−1 (para n=2).
Pela monotonicidade em [0,1/2], ligamos linearmente $(0,0)$ a $(1/2,1)$ com f crescente; em [1/2,1] f é decrescente ligando $(1/2,1)$ a $(1,0)$; em [1,3/2] f continua decrescente de $(1,0)$ a $(3/2,−1)$; e em [3/2,2] f é crescente ligando $(3/2,−1)$ a $(2,0)$.
Pela monotonicidade em [0,1/2], ligamos linearmente $(0,0)$ a $(1/2,1)$ com f crescente; em [1/2,1] f é decrescente ligando $(1/2,1)$ a $(1,0)$; em [1,3/2] f continua decrescente de $(1,0)$ a $(3/2,−1)$; e em [3/2,2] f é crescente ligando $(3/2,−1)$ a $(2,0)$.
Passo 3
Explicitamos o trecho em [0,2] como uma função linear por partes:
Passo 4
Por fim, estendemos periodicamente este padrão: $f(x+2k)=f(x), k\in\mathbb{Z}$.
Resposta
O gráfico é uma onda triangular de período 2 e amplitude 1, que no intervalo [0,2] conecta linearmente os pontos (0,0)→(1/2,1)→(1,0)→(3/2,−1)→(2,0) e se repete para todo x.