Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
ly^prime prime-7 y^prime+10 y=0, y(0)=5, y^prime(0)=-5,

Passo 1

O problema é resolver o PVI y''-7y'+10y=0 com y(0)=5 e y'(0)=-5 usando Transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades de Ly' e Ly'' para converter a EDO em uma equação algébrica em Y(s).

Passo 2

Aplicando a transformada nos dois lados da equação e usando
Ly''-7Ly'+10Ly=0
e as definições
Ly=Y(s), Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),

Passo 3

Substituindo y(0)=5 e y'(0)=-5 na equação transformada, temos
(s^2Y(s)-5s+5)-7(sY(s)-5)+10Y(s)=0

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em Y(s):
s^2Y(s)-5s+5-7sY(s)+35+10Y(s)=0
(s^2-7s+10)Y(s)-5s+40=0
Isolando Y(s) obtemos
Y(s)=5s-40s^2-7s+10=5(s-8)(s-2)(s-5)

Passo 5

Fazendo decomposição em frações parciais:
5(s-8)(s-2)(s-5)=As-2+Bs-5
Calculando os coeficientes:
para s=2: -30=-3A então A=10;
para s=5: -15=3B então B=-5.
Logo
Y(s)=10s-2-5s-5

Passo 6

Aplicando a transformada inversa e lembrando que L^-11/(s-a)=e^at, concluímos
y(t)=10e^2t-5e^5t

Resposta

y(t)=10e^2t-5e^5t

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