Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede para derivar e simplificar a função composta y = cos(tg(x)), usando derivadas e a regra da cadeia.
Passo 2
Para aplicar a regra da cadeia, identificamos a função externa e a interna: u(x) = tg(x) e y(u) = cos(u).
Derivamos a função externa em relação a u: d/du[cos(u)] = -sin(u).
Derivamos a função interna em relação a x: d/dx[tg(x)] = sec^2(x).
Derivamos a função externa em relação a u: d/du[cos(u)] = -sin(u).
Derivamos a função interna em relação a x: d/dx[tg(x)] = sec^2(x).
Passo 3
Pelo enunciado da regra da cadeia temos dy/dx = (d/du[cos(u)])·(d/dx[tg(x)]). Substituindo u = tg(x) obtemos a derivada final.
Multiplicando as derivadas parciais: dy/dx = -sin(tg(x)) · sec^2(x).
Multiplicando as derivadas parciais: dy/dx = -sin(tg(x)) · sec^2(x).