Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem
dos pólos e os correspondentes resíduos
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a única singularidade da função f(z) =
em z=0 é um polo, determinar sua ordem m e calcular o resíduo b₁. O conteúdo envolve séries de Laurent e expansão em série de Taylor da exponencial.
Passo 2
Para construir a série de Laurent, começamos expandindo
em torno de z=0 usando a série de Taylor
. Assim temos
Subtraímos essa série de 1 para obter o numerador:
$$
1-\exp(2z)=-(2z+\frac{22z2}{2!}+\frac{23z3}{3!}+\frac{24z4}{4!}+\cdots)
f(z)=\frac{1-\exp(2z)}{z4}=-2z{-3}-\frac{22}{2!}z{-2}-\frac{23}{3!}z{-1}-\frac{2^4}{4!}-\cdots
$$
Passo 3
Na forma de Laurent, os termos de potência negativa determinam o tipo de singularidade. Aqui o maior expoente negativo é z⁻³, logo z=0 é um polo de ordem m=3.
Passo 4
O resíduo b₁ é o coeficiente do termo z⁻¹ na expansão, que é
Resposta
m = 3, \quad b_{1} = -\frac{4}{3}