Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem m dos pólos e os correspondentes resíduos b1.
1-exp (2 z)z^4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a única singularidade da função f(z) = 1-exp(2z)z^4 em z=0 é um polo, determinar sua ordem m e calcular o resíduo b₁. O conteúdo envolve séries de Laurent e expansão em série de Taylor da exponencial.

Passo 2

Para construir a série de Laurent, começamos expandindo exp(2z) em torno de z=0 usando a série de Taylor exp(w)=sumk=0^infty w^kk!. Assim temos
exp(2z)=sumk=0^infty (2z)^kk!=1+2z+2^2z^22!+2^3z^33!+2^4z^44!+cdots
Subtraímos essa série de 1 para obter o numerador:
$$
1-\exp(2z)=-(2z+\frac{22z2}{2!}+\frac{23z3}{3!}+\frac{24z4}{4!}+\cdots)
1-exp(2z)=-(2z+2^2z^22!+2^3z^33!+2^4z^44!+cdots) é
f(z)=\frac{1-\exp(2z)}{z4}=-2z{-3}-\frac{22}{2!}z{-2}-\frac{23}{3!}z{-1}-\frac{2^4}{4!}-\cdots
$$

Passo 3

Na forma de Laurent, os termos de potência negativa determinam o tipo de singularidade. Aqui o maior expoente negativo é z⁻³, logo z=0 é um polo de ordem m=3.

Passo 4

O resíduo b₁ é o coeficiente do termo z⁻¹ na expansão, que é
b1=-2^33!=-86=-43

Resposta

m = 3, \quad b_{1} = -\frac{4}{3}

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