Resolva, utilizando séries de potências em torno da origem, os problemas de valor inicial a seguir.
l(x+1) y^prime prime(t)-y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO
(x+1)y’’(x) - y(x) = 0 com y(0)=0 e y’(0)=1, e queremos a solução em série de potências em torno de x=0. Para isso vamos usar a definição de série de potências, derivar termo a termo e igualar coeficientes.

Passo 2

Supomos que a solução pode ser escrita como
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Derivando termo a termo temos
y'(x) = sumn=1^infty n,an x^n-1,
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Agora substituímos na EDO. Primeiro calculamos
(x+1)y''(x) = xsumn=2^infty n(n-1)an x^n-2+ sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2
Reindexando para obter potências x^n, chega-se a
(x+1)y''(x)=sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+n(n+1)an+1r]x^n

Passo 4

Igualando (x+1)y''-y=0 termo a termo, com y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n, obtemos para cada n o sistema
(n+2)(n+1)an+2+n(n+1)an+1-an=0
Daí vem a recorrência
an+2=an - n(n+1)an+1(n+2)(n+1)

Passo 5

Usando as condições iniciais temos y(0)=a_0=0 e y’(0)=a_1=1.

Passo 6

Agora calculamos alguns coeficientes:
Para n=0: a2=a0-0cdot1,a12cdot1=0
Para n=1: a3=a1-1cdot2,a23cdot2=16
Para n=2: a4=a2-2cdot3,a34cdot3=-112
Para n=3: a5=a3-3cdot4,a45cdot4=7120
Para n=4: a6=a4-4cdot5,a56cdot5=-124

Passo 7

Assim a solução em série fica
y(x)=x+16x^3-112x^4+7120x^5-124x^6+cdots,
e em geral
y(x)=sumn=0^infty an x^n, a0=0, a1=1, an+2=an - n(n+1)an+1(n+2)(n+1)

Resposta

y(x)=x+16x^3-112x^4+7120x^5-124x^6+cdots, com os coeficientes dados por a0=0, a1=1 e an+2=an - n(n+1)an+1(n+2)(n+1)

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