Resolva, utilizando séries de potências em torno da origem, os problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
O problema é um valor inicial para a EDO
(x+1)y’’(x) - y(x) = 0 com y(0)=0 e y’(0)=1, e queremos a solução em série de potências em torno de x=0. Para isso vamos usar a definição de série de potências, derivar termo a termo e igualar coeficientes.
Passo 2
Supomos que a solução pode ser escrita como
Derivando termo a termo temos
Passo 3
Agora substituímos na EDO. Primeiro calculamos
Reindexando para obter potências x^n, chega-se a
Passo 4
Igualando
termo a termo, com y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n, obtemos para cada n o sistema
Daí vem a recorrência
Passo 5
Usando as condições iniciais temos y(0)=a_0=0 e y’(0)=a_1=1.
Passo 6
Agora calculamos alguns coeficientes:
Para n=0:
Para n=1:
Para n=2:
Para n=3:
Para n=4:
Passo 7
Assim a solução em série fica
e em geral