Derive e simplifique.
Passo 1
O enunciado pede para derivar e simplificar a função y definida por y = ln(cosec (5x)). O conteúdo é derivação de logaritmo composto e funções trigonométricas, e vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas de ln(u) e de csc(u).
Passo 2
Vamos chamar u(x) = csc (5x). Então y = ln(u). Aplicando a derivada de ln(u):
Passo 3
Agora precisamos de u’(x). Temos u(x) = csc (5x) = 1/sin(5x). A derivada de csc(v) em relação a v é -csc(v)·cot(v). E temos um v(x)=5x, cuja derivada é v’(x)=5. Então, por cadeia:
Passo 4
Substituindo u’(x) e u(x) em y’ = u’(x)/u(x), obtemos:
Passo 5
Cancelando \csc(5x) no numerador e denominador, a derivada simplificada é:
Resposta
y’ = -5 \cot(5x)