Derive e simplifique.
y=ln (cossec 5 x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y definida por y = ln(cosec (5x)). O conteúdo é derivação de logaritmo composto e funções trigonométricas, e vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas de ln(u) e de csc(u).

Passo 2

Vamos chamar u(x) = csc (5x). Então y = ln(u). Aplicando a derivada de ln(u):
y' = u'(x)u(x)

Passo 3

Agora precisamos de u’(x). Temos u(x) = csc (5x) = 1/sin(5x). A derivada de csc(v) em relação a v é -csc(v)·cot(v). E temos um v(x)=5x, cuja derivada é v’(x)=5. Então, por cadeia:
u'(x) = -csc(5x)cot(5x) cdot 5

Passo 4

Substituindo u’(x) e u(x) em y’ = u’(x)/u(x), obtemos:
y' = -5,csc(5x)cot(5x)csc(5x)

Passo 5

Cancelando \csc(5x) no numerador e denominador, a derivada simplificada é:
y' = -5cot(5x)

Resposta

y’ = -5 \cot(5x)

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